Définition d'une congruence

Définition

Soit \(a , b \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .
On dit que  \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) , et on note
\(a \equiv b \ [n] \ \ \text{ou} \ \ a \equiv b \ (n) \ \ \text{ou} \ \ a=b \ \text{mod} \ n\)  lorsque \(a-b\) est un multiple de \(n\) (autrement dit, lorsque \(n\) divise \(a-b\) ).

Remarque

Soit \(a , b \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) . On a  \(a \equiv b \ [n] \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } a=kn+b\) .

Exemples

• \(8 \equiv 2 \ [6]\) car \(8-2=6\) est un multiple de \(6\) (ou car \(8=1 \times 6+2\) ).
• \(43 \equiv 1 \ [6]\) car \(43-1=42\) est un multiple de \(6\) (ou car \(43=7 \times 6+1\) ).
  
• \(-13 \equiv 5 \ [6]\) car \(-13-5=-18\) est un multiple de \(6\) (ou car \(-13=-3 \times 6+5\) ).
  
• \(2023 \equiv 3 \ [10] \ ; \ 2023 \equiv 23 \ [100] \ ; \ 2023 \equiv 23 \ [1000]\) .
• \(29 \equiv 4 \ [5] \ ; \ 29 \equiv 9 \ [5] \ ; \ 29 \equiv -1 \ [5]\) .